Вопрос школьника
Через точку вне гиперболы с заданными С фокусами и разностью расстояний до них , проведите касательную к этой гиперболе
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим уравнение гиперболы с фокусами F1 и F2 и разностью расстояний между ними 2С:
(x — x1)^2 / a^2 — (y — y1)^2 / b^2 = 1,
где x1 и y1 — координаты фокусов, a и b — полуоси гиперболы.
Пусть дана точка M(x0, y0), лежащая вне гиперболы. Тогда расстояния от этой точки до фокусов F1 и F2 будут равны:
MF1 = sqrt((x0 — x1)^2 + (y0 — y1)^2),
MF2 = sqrt((x0 — x2)^2 + (y0 — y2)^2).
Так как разность расстояний между фокусами равна 2С, то:
MF2 — MF1 = 2C.
Подставляя выражения для MF1 и MF2, получаем:
sqrt((x0 — x2)^2 + (y0 — y2)^2) — sqrt((x0 — x1)^2 + (y0 — y1)^2) = 2C.
Возведем это уравнение в квадрат и приведем подобные слагаемые:
(x0 — x2)^2 + (y0 — y2)^2 — 2sqrt((x0 — x2)^2 + (y0 — y2)^2) * sqrt((x0 — x1)^2 + (y0 — y1)^2) + (x0 — x1)^2 + (y0 — y1)^2 = 4C^2.
Перенесем все слагаемые на одну сторону и сократим на 2:
(x0 — x2)^2 + (y0 — y2)^2 + (x0 — x1)^2 + (y0 — y1)^2 — 2sqrt((x0 — x2)^2 + (y0 — y2)^2) * sqrt((x0 — x1)^2 + (y0 — y1)^2) — 4C^2 = 0.
Это уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно sqrt((x0 — x2)^2 + (y0 — y2)^2), которое можно решить относительно этой величины. После этого можно найти координаты точки касания касательной к гиперболе в данной точке M.
Для этого найдем производную уравнения гиперболы по x:
2(x — x1) / a^2 = (y — y1) * dy/dx / b^2.
Выразим dy/dx:
dy/dx = 2a^2(y — y1) / ((x — x1) * b^2).
Так как точка M лежит вне гиперболы, то ее координаты не удовлетворяют уравнению гиперболы. Поэтому можно записать уравнение касательной в точке M в виде:
(y — y0) = dy/dx * (x — x0).
Подставляя выражение для dy/dx, получаем:
(y — y0) = 2a^2(y — y1) / ((x — x1) * b^2) * (x — x0).
Это уравнение касательной к гиперболе в точке M.
