Вопрос школьника
Через точку внутри квадрата проведены прямые по
сторонам и диагоналям клеток (рис. 79). Докажите,
что сумма площадей закрашенных частей равна сумме
площадей незакрашенных частей.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом сравнения площадей.
Рассмотрим квадрат ABCD со стороной a и точку O внутри него (см. рисунок). Проведем прямые OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG и OH, где E, F, G и H – середины сторон квадрата.
Таким образом, квадрат ABCD разбивается на 8 маленьких квадратов и 4 прямоугольных треугольника (AOE, BOF, COG и DOH).
Закрасим теперь все квадраты, которые имеют общую сторону с прямыми, проведенными через точку O (т.е. квадраты AOE, BOF, COG и DOH). Получим 4 закрашенных квадрата.
Также закрасим все треугольники, которые имеют общую вершину с точкой O (т.е. треугольники AOE, BOF, COG и DOH). Получим 4 закрашенных треугольника.
Теперь сравним площади закрашенных и незакрашенных частей.
Площадь закрашенных квадратов равна сумме площадей квадратов AOE, BOF, COG и DOH:
S1 = a^2/4 + a^2/4 + a^2/4 + a^2/4 = a^2/2
Площадь незакрашенных квадратов равна сумме площадей квадратов ABFE, BCGF, CDGH и ADHE:
S2 = a^2 — a^2/4 — a^2/4 — a^2/4 — a^2/4 = a^2/2
Площадь закрашенных треугольников равна сумме площадей треугольников AOE, BOF, COG и DOH:
S3 = (a/2)^2/2 + (a/2)^2/2 + (a/2)^2/2 + (a/2)^2/2 = a^2/8
Площадь незакрашенных треугольников равна сумме площадей треугольников AOB, BOC, COD и DOA:
S4 = (a/2)^2/2 + (a/2)^2/2 + (a/2)^2/2 + (a/2)^2/2 = a^2/8
Таким образом, сумма площадей закрашенных частей равна:
S1 + S3 = a^2/2 + a^2/8 = 5a^2/8
А сумма площадей незакрашенных частей равна:
S2 + S4 = a^2/2 + a^2/8 = 5a^2/8
Таким образом, мы доказали, что сумма площадей закрашенных частей равна сумме площадей незакрашенных частей.
