Вопрос школьника
Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке К, а прямые ВС и CD в точках Р и М соответственно. Найдите АК, если АР = a, AM = b.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения прямых АК и ВС равна Q. Тогда, так как прямая АК проходит через вершину прямоугольника, то угол АКВ прямой. А значит, треугольник АКВ прямоугольный. Также, так как прямая ВС проходит через точку Р, то угол ВРК также прямой. Тогда, треугольник ВРК также прямоугольный.
Из прямоугольности треугольника АКВ следует, что:
AK² + KV² = AV²
Из прямоугольности треугольника ВРК следует, что:
VK² + KR² = VR²
Так как точка К лежит на диагонали BD, то BD является высотой треугольника ВРК. А значит, VK = BD — BR.
Также, так как прямая АК проходит через точку Q, то AQ = AV — QV.
Из этих равенств можно выразить VK и QV через известные величины:
VK = BD — BR = BD — (BM + MR) = BD — (BC — CR + MR) = BD — BC + CR — MR
QV = AV — AQ = AV — (AK + KV) = AV — AK — (AV² — AK²) / 2KV
Теперь можно подставить выражения для VK и QV в уравнение для треугольника АКВ:
AK² + (BD — BC + CR — MR)² + (AV² — AK² — 2AK(AV² — AK²) / 2KV + KV²) = AV²
Упрощая это уравнение, получаем:
AK² + (BD — BC + CR — MR)² + KV² / (AV² — AK²) * (AV² — AK² — 2AK(AV² — AK²)) = AV² — KV²
AK² + (BD — BC + CR — MR)² + KV² / (AV² — AK²) * AK² = AV² — KV²
AK² + (BD — BC + CR — MR)² + KV² * AK² / (AV² — KV²) = AV² — KV²
AK² + (BD — BC + CR — MR)² + AK² * (BD — BC + CR — MR)² / (AV² — KV²) = AV² — KV²
AK² * (AV² — KV²) + (BD — BC + CR — MR)² * (AV² — KV²) + AK² * (BD — BC + CR — MR)² = (AV² — KV²) * (AV² — KV²)
Решая это уравнение относительно AK, получаем:
AK = sqrt((AV² — KV²) * (AV² — KV²) — (BD — BC + CR — MR)² * (AV² — KV²) — AK² * (BD — BC + CR — MR)²) / (2 * (AV² — KV²))
Таким образом, АК можно выразить через известные величины a, b, BD, BC, CR и MR.
