Вопрос школьника
Через вершину B и середину боковой стороны CD трапеции ABCD проведена прямая, пересекающая прямую AD в точке E. Докажите, что трапеция и треугольник ABE равносоставлены.
Ответ от учителя
Для доказательства равносоставленности трапеции ABCD и треугольника ABE нужно показать, что они имеют равные площади.
Пусть точка F — середина стороны AB треугольника ABE. Тогда, так как BF = FA, то BF является высотой треугольника ABE, опущенной на сторону AE.
Также заметим, что треугольник ABE и треугольник CDE подобны, так как угол ABE равен углу CDE (они соответственные углы при параллельных прямых AB и CD), а угол BAE равен углу DEC (они вертикальные углы). Таким образом, соотношение сторон треугольников ABE и CDE равно соотношению высот, опущенных на эти стороны.
Пусть H — высота трапеции ABCD, опущенная на основание AB. Тогда, так как BF является высотой треугольника ABE, то H = BF + HD.
Таким образом, площадь треугольника ABE равна (AB * BF) / 2, а площадь трапеции ABCD равна ((AB + CD) * H) / 2 = ((AB + CD) * (BF + HD)) / 2.
Заметим, что AB + CD = AE + ED = AD, так как точка E лежит на прямой AD. Также заметим, что HD = BF, так как они являются высотами трапеции ABCD, опущенными на основания AB и CD соответственно.
Таким образом, площадь треугольника ABE равна (AB * BF) / 2, а площадь трапеции ABCD равна (AD * BF) / 2. Из этого следует, что площади треугольника ABE и трапеции ABCD равны, то есть они равносоставлены.
