Вопрос школьника
Через вершину конуса и сторону квадрата, вписанного в его основание, проведено сечение. Вычислите площадь сечения, если все его стороны равны между собой, а площадь
боковой поверхности конуса равна 8√2п см2.
Ответ от учителя
Пусть сторона квадрата, вписанного в основание конуса, равна a, а высота конуса равна h. Тогда, по теореме Пифагора, радиус конуса равен r = √(a² + h²).
Площадь боковой поверхности конуса равна Sбп = πrL, где L – образующая конуса. Так как конус правильный, то L = 2r. Подставляя значение r, получаем:
Sбп = 2πr² = 2π(a² + h²)
Сечение конуса образует правильный многоугольник, все стороны которого равны между собой. Пусть количество сторон равно n, тогда площадь сечения можно выразить через длину стороны многоугольника a’ и радиус описанной окружности R:
Sс = (na’^2)/(4tan(π/n)) = (nR^2sin(2π/n))/2
Так как многоугольник правильный, то радиус описанной окружности равен половине длины стороны многоугольника, т.е. R = a’/2. Подставляя это значение, получаем:
Sс = (na’^2sin(π/n))/2
Осталось найти длину стороны многоугольника a’ и количество сторон n. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной квадрата a, радиусом конуса r и высотой h. Из подобия треугольников получаем:
a’/a = r/h
a’ = a(r/h) = a(√(a² + h²)/h)
Также из подобия треугольников получаем:
sin(π/n) = a’/r = a/(√(a² + h²))
Теперь можно выразить площадь сечения через известные величины:
Sс = (na²/2)(√(a² + h²)/h)(a/(√(a² + h²))) = (na³)/(2h)
Осталось выразить количество сторон n через площадь боковой поверхности конуса. Для этого воспользуемся формулой для площади боковой поверхности конуса:
Sбп = πrL = πr(2r) = 2πr²
Выразим из этой формулы высоту конуса:
h = √(r² — a²) = √(Sбп/2π — a²)
Подставляя это значение в формулу для площади сечения, получаем:
Sс = (na³)/(2√(Sбп/2π — a²))
Таким образом, площадь сечения зависит от количества сторон многоугольника, которое можно выразить через площадь боковой поверхности конуса и сторону квадрата, вписанного в его основание.
