Вопрос школьника
Через вершину С параллелограмма ABCD проведена произвольная прямая, пересекающая продолжения сторон АВ и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что произведение ВК • DM не зависит от того, как проведена эта прямая.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма.
Пусть прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны АВ в точке К и продолжение стороны AD в точке М (см. рисунок).
Так как AB || CD и AK пересекает CD в точке С, то по теореме о параллельных прямых угол АКС равен углу САВ.
Аналогично, так как AD || BC и AM пересекает BC в точке С, то угол САМ равен углу СDA.
Таким образом, угол АКС равен углу САМ, так как они смежные вертикальные углы.
Теперь рассмотрим треугольники АКВ и СМД. Они подобны, так как угол АКВ равен углу СМД (как мы только что доказали), угол ВКА равен углу ДМС (как вертикальные углы) и угол АВК равен углу СДМ (как соответственные углы).
Таким образом, мы получили, что АК/СМ = ВК/ДМ, откуда ВК • ДМ = АК • СМ.
Значит, произведение ВК • ДМ не зависит от того, как проведена прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD.
