Вопрос школьника
Через вершину С треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться следующими свойствами параллелограмма:
1. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
2. Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC и прямую m, параллельную стороне AB и проходящую через вершину C. Пусть P и Q — произвольные точки на прямой m, а R и S — соответствующие пересечения с сторонами AC и BC соответственно (см. рисунок).
Так как прямая m параллельна стороне AB, то треугольники ACR и BCS являются подобными и имеют равные соотношения сторон:
AC/BC = AR/BS
Также заметим, что треугольники ACR и BCS имеют общую высоту, опущенную на сторону AB. Следовательно, их площади пропорциональны соотношению длин оснований:
S(ACR)/S(BCS) = AR/BS
Но так как AR = AP и BS = BQ (по свойству параллелограмма), то получаем:
S(ACP)/S(BCQ) = AP/BQ
Таким образом, для любых двух точек P и Q на прямой m, треугольники ACP и BCQ имеют равные площади. А значит, все треугольники с вершинами на прямой m и основанием AB имеют равные площади, так как они могут быть разбиты на пары треугольников ACP и BCQ с помощью перпендикуляров, опущенных из вершин на прямую m.
