Вопрос школьника
Через вершину тупого угла равнобедренного трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями проведена прямая, перпендикулярная к основаниям и делящая большее из низ на два отрезка, меньший из которых равен 10 см. Найдите основания трапеции, если ее боковая сторона равна 26 см.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, боковой стороной $BC$ и диагоналями $AC$ и $BD$. Пусть $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$, $P$ — точка пересечения диагоналей, $H$ — точка пересечения высоты $PH$ с основанием $AB$.
Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то $AM=MB=DN=NC$. Пусть $BC=26$ см, тогда $AM=MB=frac{1}{2}(AB-BC)=frac{1}{2}(AB-26)$.
Пусть $PH$ делит $AB$ на отрезки $AH=x$ и $HB=AB-x$. Тогда $HP$ — высота трапеции, опущенная на основание $AB$. Так как $PH$ перпендикулярна $AB$, то $HP$ — средняя линия треугольника $ABD$, а значит $HP=frac{1}{2}BD$.
Так как $AC$ и $BD$ — взаимно перпендикулярные диагонали, то $HP$ — высота треугольника $APC$, а значит $HP=frac{APcdot PC}{AC}$.
Из подобия треугольников $APC$ и $ABH$ получаем $frac{AP}{AB}=frac{HP}{BH}=frac{HP}{AB-x}$. Также из подобия треугольников $APC$ и $DPC$ получаем $frac{AP}{PC}=frac{AC}{DC}$.
Следовательно, $frac{AP}{AB}=frac{AP}{PC}cdotfrac{PC}{AB}=frac{AC}{DC}cdotfrac{PC}{AB}=frac{AC}{AB}cdotfrac{PC}{DN}=frac{AC}{AB}cdotfrac{PC}{frac{1}{2}(AB-BC)}=frac{2ACcdot PC}{AB^2-BCcdot AB}$.
С другой стороны, $frac{AP}{AB}=frac{x}{AB}$ и $frac{PC}{DN}=frac{PC}{NC}=frac{PC}{frac{1}{2}(BC+AB)}=frac{2PC}{AB+BC}$.
Таким образом, получаем уравнение $frac{2ACcdot PC}{AB^2-BCcdot AB}=frac{x}{AB}cdotfrac{2PC}{AB+BC}$, откуда $x=frac{AB^2-BCcdot AB}{AB+BC}cdotfrac{AC}{AB}$.
По условию, $x=10$ см, $BC=26$ см. Подставляя эти значения, получаем уравнение $frac{AB^2-26AB}{AB+26}cdotfrac{AC}{AB}=10$, которое можно переписать в виде $(AB-26)cdotfrac{AC}{AB}=10cdotfrac{AB+26}{AB}$.
Так как $AB>26$, то $frac{AC}{AB}<1$, а значит $AB-26>10cdotfrac{AB+26}{AB}$. Решая это неравенство, получаем $AB>36$.
Также заметим, что $AC
