Вопрос школьника
Через вершину угла величины а проведена прямая, перпендикулярная его биссектрисе. Какие углы образует эта прямая со сторонами угла?
Ответ от учителя
Пусть дан угол ABC, у которого вершина — точка A, а его биссектриса — отрезок AD. Пусть прямая, перпендикулярная биссектрисе AD, пересекает стороны AB и AC в точках E и F соответственно.
Тогда угол EAF будет образован этой прямой и сторонами угла ABC.
Докажем, что угол EAF равен половине угла ABC.
В треугольнике ABD угол BAD равен углу BDA, так как AD — биссектриса угла ABC. Значит, треугольник ABD равнобедренный, и AB = BD.
Аналогично, в треугольнике ACD угол CAD равен углу CDA, так как AD — биссектриса угла ABC. Значит, треугольник ACD равнобедренный, и AC = CD.
Таким образом, мы получили, что треугольник AEF равнобедренный, так как AE = EF и AF = FC.
Из равенства сторон треугольника AEF следует, что угол EAF равен углу AFE.
Из равенства сторон треугольника ABC следует, что угол BAC равен углу BCA.
Тогда угол EAB равен углу FAC, так как они являются вертикальными углами.
Из этих равенств следует, что угол EAF равен половине угла ABC.
Таким образом, прямая, перпендикулярная биссектрисе угла, образует с его сторонами равные углы, каждый из которых равен половине угла между этими сторонами.
