Вопрос школьника
Через вершину В треугольника АВС проведите прямую, отсекающую от данного треугольника ему подобный. Сколько решений имеет задача
Ответ от учителя
Задача имеет два решения.
Пусть прямая, проходящая через вершину В, отсекает от треугольника АВС подобный ему треугольник АВС’. Тогда, по свойству подобных треугольников, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Пусть АС = a, ВС = b, АВ = c, а АС’ = x, ВС’ = y, АВ’ = z.
Тогда, по свойству подобных треугольников, имеем:
x/y = a/b
y/z = b/c
x/z = a/c
Отсюда можно выразить x, y и z через a, b и c:
x = ay/b
y = bz/c
z = cx/a
Таким образом, треугольник АВС’ подобен треугольнику АВС тогда и только тогда, когда выполнены эти условия.
Рассмотрим два случая:
1. Если a/b = b/c, то из первого и второго уравнений следует, что a/c = b/b, то есть a = c. Тогда треугольник АВС является равнобедренным, и прямая, проходящая через вершину В, может отсечь от него только один подобный треугольник.
2. Если a/b ≠ b/c, то из первого и второго уравнений следует, что a/c ≠ b/b. Тогда треугольник АВС не является равнобедренным, и прямая, проходящая через вершину В, может отсечь от него два подобных треугольника, один больший и один меньший.
Таким образом, задача имеет два решения: одно, если треугольник АВС является равнобедренным, и два, если он не является равнобедренным.
