Вопрос школьника
Четыре населённых пункта расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника. В каком месте следует построить пекарню, чтобы сумма расстояний от неё до всех четырёх данных пунктов была наименьшей?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно воспользоваться методом геометрического программирования.
Пусть A, B, C, D — вершины четырехугольника, а P — точка, в которой нужно построить пекарню. Обозначим расстояние от точки X до вершины Y как XY. Тогда сумма расстояний от P до всех четырех населенных пунктов будет равна PA + PB + PC + PD.
Заметим, что сумма расстояний от P до двух вершин четырехугольника будет минимальной, если P будет находиться на отрезке, соединяющем эти вершины. Например, если мы возьмем отрезок AB, то сумма расстояний от P до A и B будет минимальной, если P будет находиться на отрезке AB. Аналогично для других отрезков.
Таким образом, чтобы найти точку P, в которой сумма расстояний от нее до всех четырех населенных пунктов будет минимальной, нужно найти пересечение всех четырех отрезков, соединяющих вершины четырехугольника. Это и будет искомая точка P.
Если четырехугольник выпуклый, то пересечение отрезков всегда будет существовать и будет единственным. Если же четырехугольник невыпуклый, то может быть несколько точек, в которых сумма расстояний будет минимальной.
