Вопрос школьника
Четыре равных шара радиуса R расположены так, что каждый касается трёх остальных. Три из этих шаров лежат на горизонтальной плоскости, а четвёртый шар лежит над ними. Какова высота этого сооружения? Как найти радиус шара, описанного около этого сооружения.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства равнобедренной трапеции.
Пусть высота сооружения равна h, а расстояние между центрами соседних шаров на горизонтальной плоскости равно d.
Так как каждый шар касается трех остальных, то расстояние между центрами соседних шаров на вертикальной оси также равно d. Тогда можно нарисовать правильную тетраэдральную пирамиду, у которой основание — равносторонний треугольник со стороной 2R, а высота равна d.
Так как тетраэдральная пирамида — это четырехугольная пирамида, у которой все грани равны и равны основанию, то она является равнобедренной трапецией. Значит, высота этой трапеции равна:
h = sqrt(3) * d / 2
Теперь найдем радиус шара, описанного около этого сооружения. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом описанной окружности, высотой сооружения и радиусом шара:
R^2 = (h + R)^2 + d^2
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
R^2 = h^2 + 2Rh + R^2 + d^2
2Rh = h^2 + d^2
R = (h^2 + d^2) / (2h)
Подставим значение h:
R = d / (2 * sqrt(3)) + sqrt(3) / 2 * d
Таким образом, высота сооружения равна sqrt(3) * d / 2, а радиус шара, описанного около этого сооружения, равен d / (2 * sqrt(3)) + sqrt(3) / 2 * d.
