Вопрос школьника
Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан треугольников ABC, BCD, CDA и DAB, — параллелограмм.
Ответ от учителя
Для начала, заметим, что медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, точки пересечения медиан треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются серединами соответствующих отрезков AB, BC, CD и DA.
Поскольку ABCD — параллелограмм, то AB || CD и BC || AD. Значит, медианы треугольников ABC и CDA пересекаются в середине отрезка AC, а медианы треугольников BCD и DAB пересекаются в середине отрезка BD. Таким образом, получаем, что точки пересечения медиан лежат на диагоналях параллелограмма ABCD.
Далее, заметим, что медианы треугольников ABC и CDA делят диагональ AC пополам, а медианы треугольников BCD и DAB делят диагональ BD пополам. Значит, точки пересечения медиан делят диагонали параллелограмма ABCD пополам.
Таким образом, мы получили, что четырехугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан треугольников ABC, BCD, CDA и DAB, имеет параллельные стороны и диагонали, делящиеся пополам. Значит, этот четырехугольник является параллелограммом.
