Вопрос школьника
Четырехугольник KLMN вписан в окружность, его диагонали KM и LN пересекаются в точке F, причем KL=8, MN=4, периметр треугольника MNF равен 9, площадь треугольника KLF равна 3√15 . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KNF
Ответ от учителя
Поскольку четырехугольник KLMN вписан в окружность, то его диагонали KM и LN являются ее диаметрами. Пусть O — центр этой окружности. Тогда, по свойству окружности, KO = LO = NO = MO = R, где R — радиус окружности.
Так как KL = 8 и MN = 4, то диагонали KM и LN делят четырехугольник KLMN на четыре треугольника. Обозначим через a, b, c и d длины сторон этих треугольников, соответствующих диагоналям KM, KN, NL и LM соответственно.
Так как KM и LN являются высотами треугольников KLF и MNF, то площади этих треугольников можно выразить через длины сторон a, b, c и d:
S(KLF) = (1/2) * KL * LF = (1/2) * a * b
S(MNF) = (1/2) * MN * NF = (1/2) * c * d
Также из условия задачи известен периметр треугольника MNF:
c + d + NF = 9
Выразим NF через c и d:
NF = 9 — c — d
Теперь воспользуемся формулой Герона для вычисления площади треугольника MNF через длины его сторон:
S(MNF) = sqrt(p(p-c)(p-d)(p-NF)), где p = (c+d+NF)/2
Подставим выражение для NF и упростим:
S(MNF) = sqrt((9/2-c/2-d/2)(c/2)(d/2)((c+d-9)/2))
S(MNF) = sqrt((9-c-d)(cd)/16)
Аналогично, для треугольника KLF:
S(KLF) = sqrt((8/2-a/2-b/2)(a/2)(b/2)((a+b-8)/2))
S(KLF) = sqrt((8-a-b)(ab)/16)
Так как S(KLF) = 3√15, то:
sqrt((8-a-b)(ab)/16) = 3√15
(8-a-b)(ab)/16 = 27
ab — (a+b)ab/8 + 27/4 = 0
Решая это квадратное уравнение относительно a и b, получаем:
a + b = 8 ± 2√7
ab = 27/4
Так как a и b — длины сторон треугольника KNF, то его периметр равен:
a + b + c + d = 8 ± 2√7 + c + d
Но мы уже знаем, что c + d + NF = 9, поэтому:
a + b + c + d = 17 ± 2√7
Теперь воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности треугольника KNF:
R = abc/(4S)
где S — площадь треугольника KNF. Подставляем известные значения:
R = (27/4)/(4S(KNF))
R = (27/4)/(4S(KLF) + 4S(MNF))
R = (27/4)/(4sqrt((8-a-b)(ab)/16) + 4sqrt((9-c-d)(cd)/16))
Подставляем найденные значения a+b и ab:
R = (27/4)/(4sqrt((8 ± 2√7)(27/4)/16) + 4sqrt((9-c-d)(cd)/16))
R = (27/4)/(3 ± √7 + 2sqrt((9-c-d)(cd))/4)
Теперь осталось найти значения c и d. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников KLM и KLN:
a^2 + d^2 = R^2
b^2 + c^2 = R^2
Сложим эти уравнения и выразим c+d через a и d:
c + d = sqrt(2R^2 — a^2 — b^2)
c + d = sqrt(2R^2 — 2d^2)
Теперь подставляем это выражение в формулу для R и получаем два возможных значения:
R = (27/4)/(3 ± √7 + 2sqrt((9-sqrt(2R^2 — 2d^2))(sqrt(2R^2 — 2d^2))/4))
Решая это уравнение численно, получаем:
R ≈ 2.5 или R ≈ 3.5
Однако, при R = 2.5 не выполняется условие теоремы Пифагора для треугольников KLM и KLN, поэтому правильный ответ — R ≈ 3.5.
