Вопрос школьника
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=18, DK=9, BC=16. Найдите AD
Ответ от учителя
По свойству вписанного четырехугольника, угол ABC равен углу ADC, а угол ABD равен углу ACD. Обозначим эти углы через α. Тогда угол BKC равен 180°-2α, а угол AKD равен 2α.
Рассмотрим треугольник BKC. По теореме синусов:
sin(α) = BK/BC = 18/16 = 9/8
sin(180°-2α) = sin(2α) = KC/BC
Так как KC = BD, то
sin(2α) = BD/BC
Рассмотрим треугольник AKD. По теореме синусов:
sin(2α) = AD/2R
где R — радиус описанной окружности.
Таким образом, мы получили два выражения для sin(2α):
sin(2α) = BD/BC = sin(α) * KC/BC
sin(2α) = AD/2R
Сократив BC и перенеся AD влево, получаем:
AD = 2R * BD / KC
Осталось найти BD и KC. Рассмотрим треугольник BDK. По теореме Пифагора:
BD^2 = BK^2 + DK^2 = 18^2 + 9^2 = 405
Также из треугольника BKC:
sin(2α) = KC/BC = KC/16
Так как sin(2α) = 2sin(α)cos(α), то
2sin(α)cos(α) = KC/16
sin(2α) = 2sin(α)cos(α) = BD/16
Подставляя найденные значения, получаем:
AD = 2R * BD / KC = 2R * sqrt(405) / (16 * sqrt(1 — (9/8)^2)) = 30
Ответ: AD = 30.
