Вопрос школьника
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=12, BC=6. Найдите AD
Ответ от учителя
Поскольку четырехугольник ABCD вписан в окружность, то у него есть диагонали AC и BD, которые являются перпендикулярными биссектрисами друг друга. Также из свойств вписанных углов следует, что угол BAC равен углу BDC, а угол ABD равен углу ACD.
Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда, по теореме Пифагора, в треугольниках BOK и DOK:
$BO^2 + OK^2 = BK^2 = 8^2$
$DO^2 + OK^2 = DK^2 = 12^2$
Вычитая первое уравнение из второго, получаем:
$DO^2 — BO^2 = 144 — 64 = 80$
Также из свойств перпендикулярных биссектрис следует, что точка O лежит на окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD. Поэтому мы можем использовать еще одно свойство вписанных углов: угол BOC равен углу AOD, а угол BDC равен углу ABC.
Обозначим угол BOC как α. Тогда угол AOD также равен α. Из треугольника BOC мы можем выразить BC через BO и OC, используя теорему косинусов:
$BC^2 = BO^2 + OC^2 — 2BO cdot OC cdot cos alpha$
Поскольку OC равно радиусу окружности, на которой лежит четырехугольник ABCD, то OC равно половине диагонали AC. Обозначим ее как x. Тогда:
$BC^2 = BO^2 + x^2 — 2BO cdot x cdot cos alpha$
Аналогично, из треугольника BDC мы можем выразить BC через BO и OD:
$BC^2 = BO^2 + OD^2 — 2BO cdot OD cdot cos alpha$
Подставляя выражения для BC из обоих уравнений, получаем:
$BO^2 + x^2 — 2BO cdot x cdot cos alpha = BO^2 + OD^2 — 2BO cdot OD cdot cos alpha$
$x^2 — 2x cdot BO cdot cos alpha = OD^2 — 2OD cdot BO cdot cos alpha$
$x^2 — OD^2 = 2BO cdot cos alpha cdot (OD — x)$
$x^2 — OD^2 = 2BO cdot cos alpha cdot DO$
Теперь мы можем выразить OD через BO и x, используя уравнение, которое мы получили ранее:
$OD^2 — BO^2 = 80$
$OD^2 = BO^2 + 80$
$OD = sqrt{BO^2 + 80}$
$x^2 — (BO^2 + 80) = 2BO cdot cos alpha cdot (sqrt{BO^2 + 80} — x)$
$x^2 — sqrt{BO^2 + 80} cdot (2BO cdot cos alpha + 1) + 2BO^2 cdot cos alpha = 0$
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно x. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем:
$x = frac{sqrt{BO^2 + 80} cdot (2BO cdot cos alpha + 1) pm sqrt{(BO^2 + 80) cdot (4BO^2 cdot cos^2 alpha + 4BO cdot cos alpha + 1 — 8BO^2 cdot cos alpha)}}{2}$
$x = BO cdot cos frac{alpha}{2} cdot sqrt{8 + 2sqrt{10}}$
Теперь мы можем выразить AD через x, используя теорему Пифагора в треугольнике AOC:
$AD^2 = AC^2 + OD^2 — 2AC cdot OD cdot cos angle AOC$
$AD^2 = 2x^2 + OD^2 — 2x cdot OD cdot cos angle AOC$
$AD^2 = 2x^2 + BO^2 + 80 — 2x cdot OD cdot cos angle AOC$
$AD^2 = 2x^2 + BO^2 + 80 — 2x cdot BO cdot cos angle AOB$
$AD^2 = 2x^2 + BO^2 + 80 — 2x cdot BO cdot cos frac{alpha}{2}$
Подставляя выражение для x, получаем:
$AD^2 = 2BO^2 cdot (4 + sqrt{10}) — 2BO^2 cdot cos^2 frac{alpha}{2}$
$AD^2 = 2BO^2 cdot (4 + sqrt{10} — frac{1}{2} cdot (1 + sqrt{10})^2)$
$AD^2 = 2BO^2 cdot (3 — sqrt{10})$
Теперь осталось только выразить BO через DK и BC, используя теорему Пифагора в треугольнике BDC:
$BO^2 = BD^2 — OD^2 = (BK + DK)^2 — OD^2 = 20^2 — 80 = 320$
$AD^2 = 640 cdot (3 — sqrt{10})$
$AD = sqrt{640 cdot (3 — sqrt{10})} approx 16.8$
