Вопрос школьника
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 138°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных углов: угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге.
Пусть O — центр окружности, в которую вписан четырехугольник ABCD. Тогда угол AOD равен 360° (сумма углов вокруг точки), а угол ABD равен сумме углов ABO и DBO.
Заметим, что угол ABC и угол ADC являются центральными углами, соответствующими дугам AC и BC соответственно. Тогда угол AOC равен сумме углов ABC и ADC, то есть 138° + 83° = 221°.
Таким образом, угол AOD равен 360°, а угол AOC равен 221°. Из свойства вписанных углов следует, что угол ACD равен половине угла AOD, то есть 180° — 221°/2 = 49.5°.
Аналогично, угол ABC равен половине угла AOD, то есть 180° — 138°/2 = 111°.
Теперь можем найти угол ABD: ABD = ABO + DBO = (180° — ABC)/2 + (180° — ACD)/2 = (180° — 111°)/2 + (180° — 49.5°)/2 = 59.25°.
Ответ: угол ABD равен 59.25°.
