Вопрос школьника
Четырёхзначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру переставить в начало числа, то число уменьшится на 1107. Найдите это четырёхзначное число.
Ответ от учителя
Пусть искомое число имеет вид ABC4, где A, B и C — некоторые цифры. Если мы переставим цифру 4 в начало числа, то получим число 4ABC. По условию, разность между этими числами равна 1107:
4ABC — ABC4 = 1107
Раскроем числа по разрядам:
4000 + 4A + B + C — (1000A + 100B + 10C + 4) = 1107
Упростим выражение:
3000 + 4A — 99A + B — 90C = 1107
-95A + B — 90C = -1893
Перенесем все слагаемые с неизвестными в левую часть, а все числовые значения — в правую:
-95A + B — 90C + 1893 = 0
Теперь нам нужно найти такие целые числа A, B и C, чтобы это уравнение выполнялось. Заметим, что -95A + B — 90C является разностью двух чисел, оканчивающихся на 5 (так как последняя цифра числа 4). Значит, она сама должна оканчиваться на 0. Тогда B должно быть на 5 больше, чем 95A — 90C. Попробуем перебрать значения A и C, чтобы найти подходящее значение B:
-95*1 — 90*1 = -185
-95*1 — 90*2 = -275
-95*1 — 90*3 = -365
-95*2 — 90*1 = -280
-95*2 — 90*2 = -370
-95*2 — 90*3 = -460
-95*3 — 90*1 = -375
-95*3 — 90*2 = -465
-95*3 — 90*3 = -555
Видим, что только при A=3 и C=1 получаем значение, оканчивающееся на 5. Тогда:
B = 95A — 90C + 5 = 95*3 — 90*1 + 5 = 230
Искомое число равно 4ABC = 4*31*1*2 = 248. Ответ: 248.
