Вопрос школьника
Чи можна стверджувати, що коли сума двох натуральних чисел ділиться націло на деяке натуральне число, то на це число ділиться націло:
1) різниця їхніх квадратів; 3) сума їхніх кубів?
2) сума їхніх квадратів;
Ответ от учителя
1) Ні, не можна стверджувати, що на деяке натуральне число ділиться націло різниця квадратів двох натуральних чисел, якщо сума цих чисел ділиться націло на це число. Наприклад, якщо ми візьмемо числа 5 та 3, то їхня сума 8 ділиться націло на 4, але різниця їхніх квадратів (25-9=16) не ділиться націло на 4.
2) Так, можна стверджувати, що на деяке натуральне число ділиться націло сума квадратів двох натуральних чисел, якщо сума цих чисел ділиться націло на це число. Це випливає з того, що (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, тобто сума квадратів може бути записана як сума квадратів двох чисел та добутку цих чисел на 2. Якщо сума двох чисел ділиться націло на деяке число, то це число ділиться націло на суму цих чисел, тобто на 2ab. Таким чином, якщо сума двох чисел ділиться націло на деяке число, то це число ділиться націло на їхню суму квадратів.
3) Ні, не можна стверджувати, що на деяке натуральне число ділиться націло сума кубів двох натуральних чисел, якщо сума цих чисел ділиться націло на це число. Наприклад, якщо ми візьмемо числа 2 та 3, то їхня сума 5 ділиться націло на 5, але сума їхніх кубів (8+27=35) не ділиться націло на 5.
