Вопрос школьника
Число диагоналей р выпуклого многоугольника вычисляется по формуле р = (n(n-3))/2, где n — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо решить уравнение:
(n(n-3))/2 = n + 25
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
n^2 — 5n — 50 = 0
Решим квадратное уравнение:
D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4*1*(-50) = 325
n1,2 = (5 ± √325)/2
n1 ≈ 10.8, n2 ≈ -4.8
Так как число сторон должно быть натуральным числом, то подходит только первый корень:
n ≈ 10.8 ≈ 11
Значит, искомый многоугольник имеет 11 сторон. Подставим n в исходную формулу для р:
р = (11(11-3))/2 = 44
Таким образом, в многоугольнике с 11 сторонами 44 диагонали, а для того, чтобы диагоналей было на 25 больше, чем сторон, необходимо добавить 25 к числу диагоналей:
44 + 25 = 69
Ответ: в выпуклом многоугольнике с 11 сторонами и 69 диагоналями диагоналей на 25 больше, чем сторон.
