Вопрос школьника
Чтобы вытащить гвоздь длиной L = 0,1 м из доски, нужно приложить силу, не менее F = 500 Н. Считая силу сопротивления со стороны доски прямо пропорциональной глубине погружения гвоздя в доску, найти работу, совершаемую при его вытаскивании. Вес гвоздя не учитывать
Ответ от учителя
Работа, совершаемая при вытаскивании гвоздя из доски, равна силе, умноженной на путь, который проходит гвоздь при вытаскивании.
Для того чтобы найти этот путь, нужно рассмотреть зависимость силы сопротивления со стороны доски от глубины погружения гвоздя. По условию, эта сила прямо пропорциональна глубине погружения, то есть можно записать:
Fсопр = kx,
где Fсопр — сила сопротивления со стороны доски, k — коэффициент пропорциональности, x — глубина погружения гвоздя.
Так как гвоздь вытаскивается из доски, то его глубина погружения будет уменьшаться с каждым моментом времени. Пусть x(t) — глубина погружения гвоздя в момент времени t. Тогда сила сопротивления в этот момент времени будет равна:
Fсопр(t) = kx(t).
Сила, необходимая для вытаскивания гвоздя, равна 500 Н. Пусть гвоздь вытаскивается на расстояние h. Тогда работа, совершаемая при вытаскивании гвоздя, будет равна:
A = ∫Fсопр(t)dt,
где интеграл берется от начального момента времени t=0 до момента времени, когда гвоздь полностью выйдет из доски.
Для того чтобы выразить этот интеграл через глубину погружения гвоздя, нужно воспользоваться уравнением движения гвоздя. Так как сила, действующая на гвоздь, равна разности между силой, необходимой для вытаскивания гвоздя, и силой сопротивления со стороны доски, то можно записать:
ma = F — Fсопр(t),
где m — масса гвоздя, a — его ускорение.
Так как гвоздь движется вертикально вверх, то его ускорение будет равно g (ускорению свободного падения). Тогда уравнение движения можно записать в виде:
mg = F — kx(t),
или
x(t) = (F-mg)/k.
Таким образом, глубина погружения гвоздя в момент времени t будет равна:
x(t) = (500-0.1*9.81)/k = 49.5/k.
Теперь можно выразить работу, совершаемую при вытаскивании гвоздя, через глубину погружения:
A = ∫Fсопр(t)dt = ∫kx(t)dt = k∫x(t)dt.
Интегрирование берется от начального момента времени t=0 до момента времени, когда гвоздь полностью выйдет из доски. Так как глубина погружения гвоздя уменьшается с каждым моментом времени, то можно записать:
A = k∫x(t)dt = k∫(49.5/k)dt = 49.5∫dt = 49.5t.
Таким образом, работа, совершаемая при вытаскивании гвоздя, будет равна 49.5t, где t — время, за которое гвоздь выйдет из доски.
