Вопрос школьника
Cтороны треугольника равны a, b, с. Докажите, что если a2 + b2 > с2 , то угол, противолежащий стороне с, острый. Если а2 + b2 < с2, то угол, противолежащий стороне с, тупой
Ответ от учителя
Для начала, вспомним теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a^2 + b^2 = c^2.
Теперь рассмотрим два случая:
1. a^2 + b^2 > c^2
Предположим, что угол C (противолежащий стороне c) не острый. Тогда он может быть прямым или тупым. Если угол C прямой, то по теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2 все равно должно быть выполнено, что противоречит условию. Если же угол C тупой, то его смежные углы A и B будут острыми, а значит, по теореме о синусах, sin C = sin (180 — A — B) = sin (A + B) > 0. Так как sin C > 0, то угол C острый, что и требовалось доказать.
2. a^2 + b^2 < c^2 Предположим, что угол C острый. Тогда по теореме о синусах, sin C = sin (180 - A - B) = sin (A + B) > 0. Так как sin C > 0, то a/sin A + b/sin B = c/sin C > c/sin C, что приводит к тому, что a^2 + b^2 > c^2, что противоречит условию. Значит, угол C не может быть острым. Если же угол C прямой или тупой, то по теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2 все равно должно быть выполнено, что противоречит условию. Значит, угол C тупой, что и требовалось доказать.
Таким образом, мы доказали, что если a^2 + b^2 > c^2, то угол C острый, а если a^2 + b^2 < c^2, то угол C тупой.
