Вопрос школьника
Цена товара составляла 500 р. После двух повышений цены товар стоил 546 р. Известно, что во второй раз цена увеличилась на число процентов, меньшее на 1, чем в первый раз. На сколько процентов увеличилась цена в первый раз? во второй раз?
Ответ от учителя
Пусть на первый раз цена увеличилась на x процентов. Тогда после первого повышения цена стала равна 500 + 500x/100 = 500(1 + x/100) р.
После второго повышения цена стала равна 546 р. То есть, 500(1 + x/100)(1 + y/100) = 546, где y — процент, на который увеличилась цена во второй раз.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 500(1 + x/100 + y/100 + xy/10000) = 546.
Делим обе части уравнения на 500 и получаем: 1 + x/100 + y/100 + xy/10000 = 546/500.
Вычитаем из обеих частей уравнения 1 и получаем: x/100 + y/100 + xy/10000 = 46/500.
Учитывая, что y на 1 процент меньше, чем x, заменим y на (x — 1) и получим: x/100 + (x — 1)/100 + x(x — 1)/10000 = 46/500.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 2x/100 + x^2/10000 — 1/100 = 46/500.
Умножаем обе части уравнения на 50000 и получаем: 1000x + x^2 — 500 = 2300.
Переносим все слагаемые в левую часть уравнения: x^2 + 1000x — 2800 = 0.
Решаем квадратное уравнение: x1 = 40, x2 = -70. Отрицательный корень не подходит, так как процент не может быть отрицательным. Значит, на первый раз цена увеличилась на 40 процентов.
Теперь найдем, на сколько процентов увеличилась цена во второй раз. Из уравнения 1 + x/100 + y/100 + xy/10000 = 546/500 найдем y: y = (546/500 — 1 — x/100)/(1 + x/100) * 100.
Подставляем x = 40 и получаем: y = 5,2. Значит, на второй раз цена увеличилась на 5,2 процента.
