Вопрос школьника
Центр окружности описанной около трапеции, лежит на большем основании. Найти периметр этой трапеции, если диагональ равна 40 см, а боковая сторона 30 см.
Ответ от учителя
Для начала, нарисуем трапецию и ее описанную окружность:
Заметим, что центр описанной окружности лежит на перпендикуляре, опущенном из точки пересечения диагоналей трапеции. Обозначим эту точку как O:
Так как O лежит на большем основании трапеции, то расстояние от O до каждой из вершин равно радиусу описанной окружности. Обозначим радиус как r:
Также заметим, что диагональ трапеции является диаметром описанной окружности, то есть:
r = 1/2 * диагональ = 1/2 * 40 см = 20 см
Теперь можем найти высоту трапеции, опущенную на большее основание. Обозначим ее как h:
Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AOB:
h^2 + (1/2 * большее основание)^2 = r^2
h^2 + 15^2 = 20^2
h^2 = 400 — 225 = 175
h = √175 ≈ 13.23 см
Теперь можем найти меньшее основание трапеции, используя формулу для площади трапеции:
S = (большее основание + меньшее основание) * высота / 2
S = (30 + меньшее основание) * 13.23 / 2
S = 198.45 + 6.615 * меньшее основание
Так как трапеция описана около окружности, то ее периметр равен сумме длин всех ее сторон, то есть:
периметр = большее основание + меньшее основание + 2 * боковая сторона
периметр = 30 + меньшее основание + 2 * 30
периметр = 90 + меньшее основание
Осталось найти меньшее основание, подставив известные значения в уравнение для площади:
S = 198.45 + 6.615 * меньшее основание
S = (большее основание + меньшее основание) * высота / 2
198.45 + 6.615 * меньшее основание = (30 + меньшее основание) * 13.23 / 2
397 + 13.23 * меньшее основание = 396.9 + 6.615 * меньшее основание
6.615 * меньшее основание = 0.1
меньшее основание = 0.1 / 6.615 ≈ 0.0151 см
Теперь можем найти периметр трапеции:
периметр = 90 + меньшее основание
периметр = 90 + 0.0151 ≈ 90.0151 см
Ответ: периметр трапеции ≈ 90.0151 см.
