Вопрос школьника
Центр окружности расположен в начале координат, ее хорда, лежащая на прямой 4y + 3x – 12 = 0, равна 2. Напишите уравнение этой окружности.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти координаты центра окружности и ее радиус.
Так как центр окружности расположен в начале координат, его координаты равны (0,0).
Для нахождения радиуса обратимся к уравнению хорды:
4y + 3x – 12 = 0
Перепишем его в общем виде уравнения прямой:
4y = -3x + 12
y = (-3/4)x + 3
Таким образом, мы получили уравнение прямой, на которой лежит хорда. Заметим, что радиус окружности является перпендикуляром к хорде, проходящим через ее середину. Следовательно, радиус будет перпендикулярен к прямой 4y + 3x – 12 = 0 и проходить через точку (1.5, 2), которая является серединой хорды.
Найдем уравнение прямой, перпендикулярной к 4y + 3x – 12 = 0:
4x — 3y = c
Для нахождения константы c подставим координаты точки (1.5, 2):
4(1.5) — 3(2) = 3
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку (1.5, 2) и перпендикулярной к 4y + 3x – 12 = 0, имеет вид:
4x — 3y = 3
Теперь найдем точку пересечения этой прямой с осью ординат. Для этого подставим x = 0:
-3y = 3
y = -1
Таким образом, радиус окружности равен расстоянию между точками (0,0) и (0,-1), то есть 1.
Итак, мы нашли координаты центра окружности (0,0) и ее радиус 1. Уравнение окружности имеет вид:
x^2 + y^2 = 1
Ответ: x^2 + y^2 = 1.
