Вопрос школьника
Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удалён от концов её боковой стороны на 12 см и 16 см. Найдите периметр трапеции.
Ответ от учителя
Пусть $ABCD$ — равнобокая трапеция, где $AB parallel CD$, $AB=CD$, $AD neq BC$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, которая касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $E$, $F$, $G$ и $H$ соответственно. Пусть $OE=x$ и $OF=y$ — расстояния от центра окружности до точек $E$ и $F$ соответственно. Тогда $OG=x$ и $OH=y$ — расстояния от центра окружности до точек $G$ и $H$ соответственно.
Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то $EF=GH$. Также, так как $O$ — центр вписанной окружности, то $OE=OF=OG=OH=r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
Из треугольника $OEF$ получаем, что $x+y=12$.
Из треугольника $OGH$ получаем, что $x+y=16$.
Отсюда получаем систему уравнений:
$$
begin{cases}
x+y=12 \
x+y=16
end{cases}
$$
Решая ее, получаем $x=4$ и $y=8$.
Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то $AD neq BC$. Пусть $AD>b$, где $b$ — длина боковой стороны $AB$ и $CD$. Тогда $AB=frac{AD-b}{2}+r$ и $CD=frac{AD-b}{2}+r$.
Периметр трапеции $ABCD$ равен $AB+BC+CD+DA$. Подставляя значения $AB$ и $CD$, получаем:
$$
AB+BC+CD+DA=frac{AD-b}{2}+2r+b+frac{AD-b}{2}+2r+AD=2AD+2r
$$
Таким образом, периметр трапеции равен $2AD+2r$. Осталось найти $AD$.
Из прямоугольного треугольника $OEF$ получаем, что $r^2=x^2+(frac{b}{2})^2$. Из прямоугольного треугольника $OGH$ получаем, что $r^2=y^2+(frac{b}{2})^2$. Сложив эти уравнения, получаем:
$$
2r^2=x^2+y^2+b^2
$$
Подставляя значения $x$ и $y$, получаем:
$$
2r^2=80+b^2
$$
Так как $r=frac{EF}{2}$, то $r=frac{b}{2}+2r$, откуда получаем:
$$
r=frac{b}{3}
$$
Подставляя это значение $r$ в уравнение $2r^2=80+b^2$, получаем:
$$
frac{2b^2}{9}=80+b^2
$$
Отсюда получаем $b=18sqrt{2}$.
Таким образом, периметр трапеции равен:
$$
2AD+2r=2cdot(18sqrt{2}+frac{2b}{3})+2cdotfrac{b}{3}=36sqrt{2}+4b=36sqrt{2}+72sqrt{2}=108sqrt{2}
$$
Ответ: периметр трапеции равен $108sqrt{2}$ см.
