Вопрос школьника
Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки, меньший из которых равен 8 см. Основание треугольника равно 12 см. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ от учителя
Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник, в котором $AB=AC$, $H$ — его высота, $O$ — центр описанной окружности. По условию, $OH$ делит высоту $H$ на отрезки, меньший из которых равен $8$ см. Обозначим этот отрезок через $x$, тогда второй отрезок равен $Hx/HO$. Так как $OH$ — радиус описанной окружности, то $OH=OA=OB$, где $A$ и $B$ — точки пересечения высоты $H$ с описанной окружностью. Также заметим, что $AH=HB$, так как треугольник $ABC$ равнобедренный. Тогда $HO=HA=HB$ и $Hx/HO=x/HB$. Из этого следует, что $HB=Hx/x$.
Так как $AB=AC$, то $A$ и $B$ лежат на одинаковом расстоянии от середины $BC$. Обозначим середину $BC$ через $M$. Тогда $BM=CM=BC/2=6$ см. Также заметим, что $AH=CH$, так как $H$ лежит на высоте. Тогда $AM=CM-AH=6-x$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOM$. Так как $OB=OM$, то угол $OMB$ равен $45^circ$. Тогда $BM=BO/sqrt{2}=R/sqrt{2}$, где $R$ — радиус описанной окружности. Также заметим, что $BM=AM+AB/2=6-x+6=12-x$. Тогда $R/sqrt{2}=12-x$ и $R=(12-x)sqrt{2}$.
Теперь можем найти площадь треугольника $ABC$. Она равна $S=ABcdot H/2=ABcdot OB=(12)cdot (12-x)sqrt{2}$. Подставляя значение $x=8$ см, получаем $S=12cdot 4sqrt{2}=48sqrt{2}$ квадратных сантиметров. Ответ: $S=48sqrt{2}$ квадратных сантиметров.
