Вопрос школьника
Центр сферы лежит в вершине конуса. Радиус сферы меньше образующей боковой поверхности конуса. Докажите, что сфера пересекает боковую поверхность конуса по окружности.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение конуса и сферы. Конус — это геометрическое тело, образованное плоскостью, проходящей через точку (вершину) и замыкающей на себя кривую (боковую поверхность), а сфера — это геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, равноудаленных от данной точки (центра).
Из условия задачи следует, что центр сферы лежит в вершине конуса, а ее радиус меньше образующей боковой поверхности конуса. Образующая — это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на кривой боковой поверхности, наиболее удаленной от вершины.
Предположим, что сфера не пересекает боковую поверхность конуса по окружности. Тогда она должна пересекать ее по какой-то другой кривой. Рассмотрим две возможные ситуации:
1. Сфера пересекает боковую поверхность конуса по эллипсу или другой кривой. В этом случае, существует точка на этой кривой, которая находится на расстоянии, равном радиусу сферы, от центра сферы. Но так как радиус сферы меньше образующей боковой поверхности конуса, то эта точка должна находиться внутри конуса, что противоречит определению сферы.
2. Сфера пересекает боковую поверхность конуса по прямой. В этом случае, сфера должна касаться боковой поверхности конуса в этой точке, так как радиус сферы меньше образующей боковой поверхности конуса. Но так как центр сферы лежит в вершине конуса, то прямая, проходящая через эту точку и центр сферы, должна проходить через вершину конуса, что противоречит тому, что сфера пересекает боковую поверхность конуса по прямой.
Таким образом, мы пришли к противоречию в обоих случаях, что доказывает, что сфера пересекает боковую поверхность конуса по окружности.
