Вопрос школьника
DABC — тетраэдр (рис. 13, в). Точки T, O и F — середины ребер DC, DB и AB соответственно. Вычислите площадь поверхности тетраэдра, если известно, что длина пространственной ломаной, образованной отрезками CB, BF, FO, OT и TC, равна 9 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо вычислить площадь поверхности тетраэдра DABC. Площадь поверхности тетраэдра вычисляется по формуле:
S = S1 + S2 + S3 + S4,
где S1, S2, S3 и S4 — площади боковых граней тетраэдра.
Для вычисления площади боковых граней тетраэдра нам необходимо знать длины их сторон. Для этого рассмотрим ломаную, образованную отрезками CB, BF, FO, OT и TC.
Так как точки T, O и F являются серединами соответствующих ребер, то отрезки TC, CO, OT, OF, FB и BC равны между собой. Обозначим длину каждого из этих отрезков через l.
Тогда длина ломаной равна:
l + l + l + l + l = 5l = 9 см.
Отсюда получаем:
l = 9/5 см.
Теперь мы можем вычислить площадь каждой боковой грани тетраэдра. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника:
S = 1/2 * a * h,
где a — длина основания треугольника, h — высота треугольника.
Рассмотрим грани DBC, BCF, FOT и OTC.
Грань DBC имеет основание BC длиной l и высоту, проходящую через точку A. Так как точка A является вершиной тетраэдра, то высота грани DBC равна высоте тетраэдра. Обозначим высоту тетраэдра через h.
Тогда площадь грани DBC равна:
S1 = 1/2 * l * h.
Аналогично вычисляем площади граней BCF, FOT и OTC:
S2 = 1/2 * l * h,
S3 = 1/2 * l * h,
S4 = 1/2 * l * h.
Таким образом, площадь поверхности тетраэдра равна:
S = S1 + S2 + S3 + S4 = 4 * 1/2 * l * h = 2lh.
Осталось вычислить высоту тетраэдра h. Для этого воспользуемся формулой для высоты тетраэдра, опущенной на его основание:
h = 2/3 * sqrt(3) * a,
где a — длина ребра тетраэдра.
Рассмотрим треугольник ABO. Он является равносторонним, так как точки O и F являются серединами ребер AB и BO соответственно. Значит, длина его стороны равна:
a = BO = 2 * BF = 2 * l.
Тогда высота тетраэдра равна:
h = 2/3 * sqrt(3) * 2l = 4/3 * sqrt(3) * l.
Подставляем значение высоты в формулу для площади поверхности тетраэдра:
S = 2lh = 2 * l * 4/3 * sqrt(3) * l = 8/3 * sqrt(3) * l^2.
Заменяем значение l:
S = 8/3 * sqrt(3) * (9/5)^2 см^2 ≈ 6,12 см^2.
Ответ: площадь поверхности тетраэдра DABC равна примерно 6,12 см^2.
