Вопрос школьника
Дан цилиндр радиуса R. Его кладут в щель шириной d так, что его ось параллельна краям щели. На сколько он углубится в эту щель?
Ответ от учителя
Приложим к цилиндру силу F, направленную перпендикулярно его оси и направленную вниз. Так как цилиндр находится в равновесии, то сила реакции опоры равна F и направлена вверх. Таким образом, на цилиндр действует сила тяжести, направленная вниз, и сила реакции опоры, направленная вверх.
Сила тяжести, действующая на цилиндр, равна его весу, который можно выразить через массу M и ускорение свободного падения g: Fт = Mg.
Сила реакции опоры равна силе, с которой цилиндр давит на опору. Эта сила равна весу цилиндра, так как цилиндр находится в равновесии: Fр = Fт = Mg.
Таким образом, на цилиндр действует две равные по модулю, но противоположно направленные силы. Эти силы создают момент сил относительно оси цилиндра, который стремится повернуть цилиндр вокруг своей оси. Чтобы предотвратить этот поворот, на цилиндре должна действовать сила трения, направленная вверх и равная моменту сил.
Момент сил можно выразить через силу F и расстояние r от оси цилиндра до точки приложения силы: M = Fr.
Сила трения между цилиндром и опорой можно выразить через коэффициент трения μ и силу реакции опоры: Fтр = μFр.
Таким образом, чтобы цилиндр не повернулся, должно выполняться условие: Fr = μFр.
Выразим расстояние r через радиус цилиндра R и угол α, на который он углубится в щель: r = R(1 — cosα).
Выразим силу реакции опоры через вес цилиндра: Fр = Mg.
Тогда условие равновесия можно записать в виде: FR(1 — cosα) = μMg.
Выразим угол α: cosα = 1 — μMg/FR.
Таким образом, на сколько цилиндр углубится в щель, можно выразить через его радиус R, ширину щели d, коэффициент трения μ и ускорение свободного падения g: α = arccos(1 — μMg/FR).
