Вопрос школьника
Дан эллипс с фокусами F1, F2 и константой с. Найдите наибольшее расстояние между точками эллипса. Укажите эти точки.
Ответ от учителя
Наибольшее расстояние между точками эллипса соответствует диаметру эллипса. Диаметр эллипса проходит через его центр и является наибольшей линией, которая может быть проведена в эллипсе.
Для нахождения диаметра эллипса необходимо найти его центр. Центр эллипса находится на пересечении его главных осей, которые проходят через его фокусы F1 и F2. Пусть O — центр эллипса, a — большая полуось, b — малая полуось.
Тогда координаты центра O можно найти как среднее арифметическое координат фокусов:
O = ( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2 )
где x1, y1 — координаты фокуса F1, x2, y2 — координаты фокуса F2.
Длина большой полуоси a равна расстоянию между центром O и одним из вершин эллипса. Так как эллипс симметричен относительно своих главных осей, то координаты вершин можно найти как (Ox ± a, Oy).
Длина малой полуоси b равна расстоянию между центром O и точкой пересечения эллипса с его второстепенной осью.
Таким образом, мы нашли центр O и полуоси a и b эллипса. Диаметр эллипса равен 2a, то есть наибольшее расстояние между точками эллипса равно удвоенной длине большой полуоси.
Точки, между которыми находится диаметр эллипса, находятся на расстоянии a от центра O и имеют координаты (Ox ± a, Oy).
Итак, наибольшее расстояние между точками эллипса равно 2a, где a — большая полуось, а точки, между которыми находится диаметр эллипса, имеют координаты (Ox ± a, Oy), где Ox и Oy — координаты центра эллипса.
