Вопрос школьника
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Точка К движется по диагонали А1С куба от А1 к С. Пусть А1К = х. Выразите через х расстояния от К до:
а) вершин куба;
б) рёбер куба;
в) граней куба.
Ответ от учителя
а) Расстояние от точки К до вершин куба можно выразить с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим, например, вершину А. Она находится на расстоянии 1 от вершины А1 и на расстоянии х от точки К. Тогда расстояние от К до вершины А равно:
√(1^2 + х^2)
Аналогично, расстояния до остальных вершин можно выразить с помощью теоремы Пифагора.
б) Расстояние от точки К до ребра куба можно выразить как расстояние от точки К до прямой, содержащей это ребро. Рассмотрим, например, ребро AB. Оно проходит через точки A и B, которые находятся на расстоянии 1 друг от друга. Также оно перпендикулярно грани ABCD, которая проходит через точки A, B, C и D. Тогда расстояние от точки К до ребра AB равно расстоянию от точки К до прямой AB, которая проходит через точки A и B и перпендикулярна грани ABCD. Это расстояние можно выразить как проекцию точки К на эту прямую. Пусть точка М — середина ребра AB. Тогда проекция точки К на прямую AB равна проекции точки К на отрезок МА, которая равна:
(КМ * АМ) / МА
где КМ = х/√2, АМ = 1/2, МА = √(1^2 + (1/2)^2) = √(5)/2. Подставляя значения, получаем:
(х/√2 * 1/2) / (√5/2) = х/√10
Аналогично, расстояния до остальных ребер можно выразить как проекции точки К на соответствующие прямые.
в) Расстояние от точки К до грани куба можно выразить как расстояние от точки К до плоскости, содержащей эту грань. Рассмотрим, например, грань ABCD. Она проходит через точки A, B, C и D, которые находятся на расстоянии 1 друг от друга. Также она перпендикулярна ребру AB, которое проходит через точки A и B. Тогда расстояние от точки К до грани ABCD равно расстоянию от точки К до плоскости ABCD, которая проходит через точки A, B и C и перпендикулярна ребру AB. Это расстояние можно выразить как проекцию точки К на эту плоскость. Пусть точка М — середина ребра AB. Тогда проекция точки К на плоскость ABCD равна проекции точки К на плоскость, проходящую через точки М, К и перпендикулярна ребру AB. Эта проекция равна:
(КМ * АМ) / МК
где КМ = х/√2, АМ = 1/2, МК = √(1^2 + (х/√2)^2) = √(1/2 + х^2/2). Подставляя значения, получаем:
(х/√2 * 1/2) / √(1/2 + х^2/2) = х / √(2 + х^2)
Аналогично, расстояния до остальных граней можно выразить как проекции точки К на соответствующие плоскости.
