Вопрос школьника
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите угол φ, образованный плоскостями:
а) АВ1С1 и АВС;
б) BB1D1 и АА1С;
в) DA1C1 и BA1C1.
Ответ от учителя
а) Плоскости АВ1С1 и АВС пересекаются по прямой АВ. Угол между плоскостями равен углу между прямой АВ и нормалью к плоскости АВ1С1, проведенной из точки В. Нормаль к плоскости АВ1С1 проходит через точки А и С1 и имеет направление BC1. Таким образом, угол φ равен углу между прямой АВ и вектором BC1, который можно найти по формуле cosφ = (AB·BC1)/(|AB|·|BC1|), где AB и BC1 — векторы, соединяющие соответствующие вершины куба. Подставляя значения, получаем cosφ = (a·a)/(a·√2·a) = 1/√2, откуда φ = 45°.
б) Плоскости BB1D1 и АА1С пересекаются по прямой BD1. Угол между плоскостями равен углу между прямой BD1 и нормалью к плоскости BB1D1, проведенной из точки B1. Нормаль к плоскости BB1D1 проходит через точки B и D1 и имеет направление AD1. Таким образом, угол φ равен углу между прямой BD1 и вектором AD1, который можно найти по формуле cosφ = (BD1·AD1)/(|BD1|·|AD1|), где BD1 и AD1 — векторы, соединяющие соответствующие вершины куба. Подставляя значения, получаем cosφ = (a·a)/(√2·a·a) = 1/√2, откуда φ = 45°.
в) Плоскости DA1C1 и BA1C1 пересекаются по прямой AC1. Угол между плоскостями равен углу между прямой AC1 и нормалью к плоскости DA1C1, проведенной из точки D1. Нормаль к плоскости DA1C1 проходит через точки D1 и C и имеет направление BC1. Таким образом, угол φ равен углу между прямой AC1 и вектором BC1, который можно найти по формуле cosφ = (AC1·BC1)/(|AC1|·|BC1|), где AC1 и BC1 — векторы, соединяющие соответствующие вершины куба. Подставляя значения, получаем cosφ = (a·a)/(a·√2·a) = 1/√2, откуда φ = 45°.
