Вопрос школьника
Дан неразвернутый угол AOB. Что представляет собой множество всех точек M, для каждой из которых треугольники OAM и OBM равновелики?
Ответ от учителя
Множество всех точек M, для каждой из которых треугольники OAM и OBM равновелики, представляет собой окружность, проходящую через точку O и середину дуги AB.
Для доказательства этого факта можно воспользоваться следующими рассуждениями. Пусть точка M лежит на этой окружности. Тогда углы OAM и OBM равны, так как они соответственные углы при равных дугах AM и BM. Кроме того, угол AOM равен углу BOM, так как они опираются на равные дуги AM и BM. Из этих равенств следует, что треугольники OAM и OBM равновелики.
Обратно, если треугольники OAM и OBM равновелики, то углы OAM и OBM равны, а угол AOM равен углу BOM. Это означает, что точка M лежит на окружности, проходящей через точку O и середину дуги AB.
Таким образом, множество всех точек M, для каждой из которых треугольники OAM и OBM равновелики, представляет собой окружность, проходящую через точку O и середину дуги AB.
