Вопрос школьника
Дан отрезок АВ. Постройте две окружности с центрами А и В и радиусом АВ. Точки пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM, AN, BM, BN. Равны ли отрезки АВ, AM, AN, BM и BN? Убедитесь, что прямая MN делит отрезок АВ пополам.
Ответ от учителя
Для построения двух окружностей с центрами в точках А и В и радиусом АВ необходимо провести две окружности, каждая из которых будет проходить через точки А и В. Для этого можно использовать циркуль и линейку.
1. На линейке отложим отрезок АВ.
2. Установим циркуль в точке А и отрегулируем его радиус на длину отрезка АВ.
3. Опишем окружность с центром в точке А.
4. Установим циркуль в точке В и отрегулируем его радиус на длину отрезка АВ.
5. Опишем окружность с центром в точке В.
6. Найдем точки пересечения окружностей М и N.
7. Проведем отрезки AM, AN, BM, BN.
Отрезки АВ, AM, AN, BM и BN равны между собой, так как они являются радиусами окружностей с центрами в точках А и В и радиусом АВ.
Чтобы убедиться, что прямая MN делит отрезок АВ пополам, необходимо доказать, что точка М является серединой отрезка АН, а точка N — серединой отрезка ВМ.
Для этого можно воспользоваться теоремой о перпендикулярных хордах, которая гласит, что если две хорды пересекаются в точке О, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Таким образом, если мы докажем, что произведение отрезков АМ и МН равно произведению отрезков ВМ и МN, то мы докажем, что прямая MN делит отрезок АВ пополам.
Рассмотрим треугольник АМО, где О — середина отрезка АН. Так как АО и МО являются радиусами окружности с центром в точке А, то они равны между собой. Аналогично, рассмотрим треугольник ВМО, где О — середина отрезка ВН. Так как ВО и МО являются радиусами окружности с центром в точке В, то они равны между собой.
Таким образом, получаем:
АО = МО
ВО = МО
АО * ОМ = ВО * ОМ
АМ * МН = ВМ * МН
АМ * МН = ВМ * МН
Таким образом, мы доказали, что прямая MN делит отрезок АВ пополам.
