Вопрос школьника
Дан параллелограмм АВСD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника АВОD
Ответ от учителя
Для начала найдем длину стороны CD параллелограмма. Так как AB || CD, то ∠C = 180° — ∠A = 120°. Используя закон косинусов для треугольника BCD, получаем:
CD² = BC² + BD² — 2·BC·BD·cos(∠CBD) = 5² + 3² — 2·5·3·cos(60°) = 19
Отсюда CD = √19.
Так как окружность касается биссектрисы угла D и сторон AD и CD, то точка касания (обозначим ее E) лежит на высоте из вершины D треугольника ACD. Пусть AE = x, ED = y. Тогда AD = x + y.
Так как AD || BC, то треугольники ABD и CDE подобны. Из этого следует, что:
AB/CD = BD/DE
3/√19 = BD/(x+y)
BD = 3·(x+y)/√19
Также из подобия треугольников ABD и CDE следует, что:
∠A = ∠CDE
60° = arctan(y/(x+√19)) + arctan(y/x)
Таким образом, мы получили систему уравнений:
CD = √19
BD = 3·(x+y)/√19
60° = arctan(y/(x+√19)) + arctan(y/x)
Решая ее численно, получаем:
x ≈ 1.63, y ≈ 2.77, BD ≈ 2.68
Теперь можем найти площадь четырехугольника АВОD. Он разбивается на два треугольника ABD и OCD и сегмент окружности ODE. Площадь сегмента можно найти по формуле:
S(ODE) = (r²/2)·(θ — sinθ), где r — радиус окружности, θ — центральный угол сегмента.
Так как ODE — сегмент, то его центральный угол равен ∠AOD — ∠EOB, где ∠AOD = 120°, ∠EOB = 90° (так как OE — радиус окружности, а EB — биссектриса угла D). Отсюда θ = 30°.
Радиус окружности можно найти, заметив, что треугольники OEB и ODC подобны. Из этого следует, что:
OE/OD = EB/DC
OE = OD·EB/DC = 2·BD = 5.36
Таким образом, S(ODE) = (5.36²/2)·(30° — sin30°) ≈ 7.39.
Площадь треугольника ABD можно найти по формуле Герона:
p = (AB + BD + AD)/2 = (3 + 2.68 + x + y)/2 ≈ 5.005
S(ABD) = √(p(p-AB)(p-BD)(p-AD)) ≈ 4.08
Аналогично, площадь треугольника OCD равна:
S(OCD) = √(p(p-CD)(p-OD)(p-OC)) ≈ 4.08
Таким образом, площадь четырехугольника АВОD равна:
S(ABOD) = S(ABD) + S(OCD) + S(ODE) ≈ 15.55.
