Вопрос школьника
Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом 60° . На двух его противоположных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами 120° при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами
Ответ от учителя
Рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB = 2 и BC = 1, и угол ABC равен 60°. Построим вне параллелограмма равнобедренные треугольники ABE и CDF с углами 120° при вершинах.
Так как треугольник ABE равнобедренный, то AE = BE. А также угол AEB равен 60°, так как это дополнительный угол к углу ABC. Значит, треугольник AEB является равносторонним, и его сторона AB равна AE = BE = 2.
Аналогично, треугольник CDF является равносторонним, и его сторона CD равна CF = DF = 1.
Теперь рассмотрим треугольник AEF. Он является равносторонним, так как все его углы равны 60°. Значит, сторона EF равна AE = BE = 2.
Треугольник CDF также является равносторонним, и его сторона CF равна CD = DF = 1.
Таким образом, мы получили два равносторонних треугольника AEF и CDF, у которых стороны EF и CD соответственно равны 2 и 1.
Чтобы найти расстояние между вершинами E и F, нужно найти высоту треугольника AEF, опущенную на сторону EF. Рассмотрим прямоугольный треугольник AEG, где AG является высотой треугольника AEF.
Так как треугольник AEF равносторонний, то угол AEG равен 30° (это половина угла AEF). Также мы знаем, что сторона AE равна 2. Значит, мы можем найти высоту AG с помощью тригонометрии:
sin(30°) = AG / AE
AG = AE * sin(30°) = 2 * 0.5 = 1
Таким образом, расстояние между вершинами E и F равно высоте треугольника AEF, то есть AG, и оно равно 1.
