Вопрос школьника
Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Докажите, что: 1) диагональ AD является диаметром описанной окружности шестиугольника; 2) AD \ ВС.
Ответ от учителя
1) Для доказательства того, что диагональ AD является диаметром описанной окружности шестиугольника, нужно воспользоваться свойством правильного шестиугольника, согласно которому все его углы равны 120 градусам. Также известно, что центр описанной окружности шестиугольника находится на пересечении его диагоналей. Пусть точка O — центр описанной окружности, тогда угол AOC равен 60 градусам (так как это половина угла в центре окружности, соответствующего дуге AC). Аналогично, угол AOD также равен 60 градусам. Таким образом, угол AOC + угол AOD = 120 градусов, что означает, что точка O лежит на диагонали AD. Также очевидно, что точка O лежит на середине дуги BC, что означает, что диагональ AD является диаметром описанной окружности.
2) Для доказательства того, что AD параллельна BC, нужно воспользоваться свойством правильного шестиугольника, согласно которому все его стороны равны. Таким образом, AB = BC = CD = DE = EF = FA. Рассмотрим треугольники ABD и BCD. Они равнобедренные, так как AB = BD и BC = CD. Также угол ABD равен углу BCD, так как это углы при основании равнобедренных треугольников. Таким образом, треугольники ABD и BCD подобны. Аналогично, треугольники ADE и CDE подобны. Из подобия треугольников следует, что угол ADB равен углу BDC, а угол AED равен углу CED. Таким образом, углы ADB и AED в сумме дают 120 градусов, что означает, что они являются дополнительными углами к углу A. Аналогично, углы BDC и CED являются дополнительными углами к углу C. Так как углы A и C равны (все углы правильного шестиугольника равны), то их дополнительные углы также равны. Таким образом, угол ADB равен углу CED, что означает, что AD параллельна BC.
