Вопрос школьника
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
Ответ от учителя
Правильный восьмиугольник имеет 8 равных сторон и 8 равных углов, каждый из которых равен 135 градусам. При соединении вершин через одну мы соединяем каждую вершину с вершиной, находящейся через одну от нее. Таким образом, мы соединяем вершину 1 с вершиной 3, вершину 3 с вершиной 5, вершину 5 с вершиной 7 и вершину 7 с вершиной 1.
Так как все стороны правильного восьмиугольника равны, то отрезки, соединяющие вершины через одну, также будут равны между собой. Также заметим, что каждый угол правильного восьмиугольника равен 135 градусам, что означает, что угол между любыми двумя отрезками, соединяющими вершины через одну, равен 90 градусам.
Таким образом, мы получаем четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты, равные стороне правильного восьмиугольника. Следовательно, эти треугольники являются равнобедренными и равными.
Так как мы имеем четыре равнобедренных прямоугольных треугольника, то мы можем сложить их вместе таким образом, чтобы получить квадрат. Каждый из треугольников будет являться четвертью этого квадрата.
Таким образом, мы доказали, что если соединить вершины правильного восьмиугольника отрезками через одну, то получится квадрат.
