Вопрос школьника
Дан прямоугольный ABC, ∠ C = 90°, CK — высота ABC, CM — биссектриса ACK. Докажите, что BMC — равнобедренный.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что треугольник BMC является равнобедренным, нужно показать, что его боковые стороны BM и CM равны.
Из условия задачи известно, что CK является высотой треугольника ABC, а CM — биссектрисой угла ACK. Значит, угол BCM равен углу MCK.
Также из условия задачи следует, что угол ACB является прямым, а значит, угол ACK + угол BCK = 90 градусов. Так как угол BCM равен углу MCK, то угол BCM + угол BCK = 90 градусов.
Из этих двух уравнений следует, что угол BCM равен углу BCK. Таким образом, треугольник BMC является равнобедренным, так как его боковые стороны BM и CM равны, а углы при основании (BC) равны.