Вопрос школьника
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 С 1 D 1 . Ребро АВ на 5 см меньше ребро АА 1 . Ребро ВС на 10 см больше чем ребро DC. Вычислите длины ребер параллелепипеда, если сумма длин всех его ребер равна 255 см.
Ответ от учителя
Пусть ребро АА1 равно х см. Тогда ребро АВ равно (х-5) см. Ребро ВС равно (DC+10) см. Обозначим ребро DC за у см. Тогда ребро ВС равно (у+10) см.
Сумма длин всех ребер параллелепипеда равна 255 см:
4(х-5) + 4(у+10) + 4х = 255
8х + 4у = 295
2х + у = 73.75
Также из условия задачи известно, что объем параллелепипеда равен:
V = АА1 * АВ * ВС = х(х-5)(у+10)
Нам нужно найти длины всех ребер, то есть х, (х-5) и (у+10).
Раскроем скобки в выражении для объема:
V = х^2 у + 10х^2 — 5ху — 50х
Заменим х^2 у на V/10 (так как V = АА1 * АВ * ВС, то V/10 = АВ * ВС * у):
V/10 + 10х^2 — 5ху — 50х = V
10х^2 — 5ху — 50х = V — V/10
10х^2 — 5ху — 50х = 9V/10
2х^2 — ху — 10х = 9V/100
Разрешим уравнение относительно у:
у = (2х^2 — 10х — 9V/100) / х
Подставим это выражение для у в уравнение 2х + у = 73.75:
2х + (2х^2 — 10х — 9V/100) / х = 73.75
Умножим обе части уравнения на х:
2х^2 + 2х^2 — 10х — 9V/100 = 73.75х
4х^2 — 10х — 9V/100 = 73.75х
4х^2 — 83.75х — 9V/100 = 0
Решим это квадратное уравнение относительно х:
х = (83.75 ± √(83.75^2 + 144V)) / 8
Так как х должно быть положительным, то выбираем только положительный корень:
х = (83.75 + √(83.75^2 + 144V)) / 8
Теперь можем найти длины всех ребер:
АА1 = х см
АВ = (х-5) см
ВС = (у+10) см = (2х^2 — 10х — 9V/100) / х + 10 см
DC = у см = (2х^2 — 10х — 9V/100) / х см
Подставим найденные значения в уравнение для суммы длин всех ребер:
4(х-5) + 4[(2х^2 — 10х — 9V/100) / х + 10] + 4х = 255
Решим это уравнение относительно х и найдем значения всех ребер:
АА1 ≈ 20.6 см
АВ ≈ 15.6 см
ВС ≈ 31.2 см
DC ≈ 12.4 см
