Вопрос школьника
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В, D и К, и найдите площадь сечения, если АВ = AD =8√2, СС1 = 12, точка К является серединой ребра СС1.
Ответ от учителя
Для построения сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В, D и К, нужно провести плоскость, которая пересечет ребра ВС1, ВD1 и КС1. Так как точка К является серединой ребра СС1, то плоскость будет проходить через середину этого ребра, а значит, она будет параллельна граням АВСС1 и B1D1C1С.
Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки В, D и К, нужно найти векторное произведение векторов BD и КС1. Вектор BD можно найти как разность координат точек B и D: BD = (8√2, 0, 0) — (0, 8√2, 0) = (8√2, -8√2, 0). Вектор КС1 можно найти как разность координат точек К и С1: КС1 = (0, 0, 6) — (0, 0, 12) = (0, 0, -6). Тогда векторное произведение будет равно: BD x КС1 = (48√2, 48√2, 0).
Так как плоскость параллельна граням АВСС1 и B1D1C1С, то она проходит через точку В, а значит, ее уравнение можно записать в виде: 48√2x + 48√2y = С, где С — неизвестная константа. Чтобы найти С, нужно подставить координаты точки В: 48√2 * 8√2 + 48√2 * 0 = С, откуда С = 768.
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки В, D и К, имеет вид: 48√2x + 48√2y — 768 = 0.
Чтобы найти площадь сечения, нужно найти пересечение этой плоскости с ребрами ВС1, ВD1 и КС1. Пересечение с ребром ВС1 можно найти, решив систему уравнений: 48√2x + 48√2y — 768 = 0, x = 0, z = 0. Отсюда получаем, что точка пересечения имеет координаты (0, 16, 0).
Пересечение с ребром ВD1 можно найти, решив систему уравнений: 48√2x + 48√2y — 768 = 0, x = 8√2, z = 0. Отсюда получаем, что точка пересечения имеет координаты (8√2, 0, 0).
Пересечение с ребром КС1 можно найти, решив систему уравнений: 48√2x + 48√2y — 768 = 0, y = 0, z = 6. Отсюда получаем, что точка пересечения имеет координаты (8√2, 0, 6).
Теперь нужно найти площадь треугольника, образованного этими тремя точками. Для этого можно воспользоваться формулой Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p — полупериметр треугольника, a, b, c — длины сторон.
Длины сторон треугольника можно найти по координатам точек: AB = √((8√2-0)² + (0-16)² + (0-0)²) = 16√2, BC1 = √((0-8√2)² + (0-16)² + (6-0)²) = 10√2, C1K = √((8√2-0)² + (0-0)² + (6-0)²) = 10.
Полупериметр треугольника равен: p = (16√2 + 10√2 + 10)/2 = 13√2.
Тогда площадь треугольника равна: S = √(13√2(13√2-16√2)(13√2-10√2)(13√2-10)) = √(13√2 * 96 * 18 * 3) = 72√3.
Ответ: площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки В, D и К, равна 72√3.
