Вопрос школьника
Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АС= 15 и ВС = 8. С центром в вершине В проведена окружность S радиуса 17. Найдите радиус окружности, вписанной в угол ВАС и касающийся окружности S
Ответ от учителя
Для начала найдем гипотенузу треугольника АВС по теореме Пифагора:
AB² = AC² + BC²
AB² = 15² + 8²
AB² = 225 + 64
AB² = 289
AB = 17
Таким образом, гипотенуза треугольника АВС равна 17.
Рассмотрим теперь угол ВАС. Пусть точка касания вписанной окружности с стороной АС равна D, а радиус этой окружности равен r. Тогда по теореме о касательной к окружности:
BD = r
CD = r
Также из угла ВАС известно, что:
tan(∠ВАС) = BC/AC = 8/15
Отсюда можно выразить синус и косинус этого угла:
sin(∠ВАС) = BC/AB = 8/17
cos(∠ВАС) = AC/AB = 15/17
Теперь рассмотрим треугольник ВCD. Он является прямоугольным, так как угол ВCD равен 90 градусов (касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания). Из этого треугольника можно выразить:
BD² + CD² = BC²
r² + r² = 8²
2r² = 64
r² = 32
Таким образом, радиус вписанной окружности равен √32 = 4√2. Ответ: 4√2.
