Вопрос школьника
Дан прямоугольный треугольник MNK с катетами 5 и 12. Треугольник KNJ– равносторонний, причем точка J и точка M лежат по разные стороны от прямой NK. Найдите расстояние от центра вписанной окружности в MNK до центра вписанной в КNJ окружности
Ответ от учителя
Для начала найдем площадь треугольника MNK. Она равна половине произведения катетов: S(MNK) = (5*12)/2 = 30.
Так как треугольник KNJ равносторонний, то его высота, проведенная из вершины K, будет также являться медианой и биссектрисой. Поэтому она делит сторону KN пополам и равна KN/2 = 12/2 = 6.
Также известно, что радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник равен половине длины стороны, то есть r(KNJ) = KN/2 = 6.
Для нахождения радиуса вписанной окружности в треугольник MNK воспользуемся формулой r(MNK) = S(MNK) / p(MNK), где p(MNK) – полупериметр треугольника MNK.
Найдем сначала полупериметр: p(MNK) = (5 + 12 + MN) / 2 = (17 + MN) / 2.
Тогда радиус вписанной окружности: r(MNK) = 30 / ((17 + MN) / 2) = 60 / (17 + MN).
Осталось найти расстояние между центрами вписанных окружностей. Оно равно разности радиусов: d = r(MNK) — r(KNJ) = 60 / (17 + MN) — 6.
Осталось найти MN. Обозначим точку пересечения прямой NK и высоты, проведенной из вершины M, через точку L. Тогда треугольник MNL будет подобен треугольнику MNK, и мы можем записать отношение сторон:
MN / NK = NL / ML.
Но NL = KN/2 = 6, а ML = 5, поэтому:
MN / NK = 6 / 5.
Отсюда MN = (6/5)*NK = (6/5)*12 = 14,4.
Подставляем в выражение для d:
d = 60 / (17 + 14,4) — 6 ≈ 0,8.
Ответ: расстояние между центрами вписанных окружностей примерно равно 0,8.
