Вопрос школьника
Дан равнобедренный треугольник. Найдите отношение радиусов вписанной и описанной окружностей, если угол при вершине равен а.
Ответ от учителя
Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором угол при вершине A равен а. Пусть R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = BC. Пусть M — середина стороны AB. Тогда AM = BM = AC/2.
Рассмотрим треугольник AMC. Угол AMC равен 2а, так как угол A равен а. Угол MAC равен (180-2а)/2 = 90-а. Таким образом, треугольник AMC является прямоугольным.
По теореме Пифагора в треугольнике AMC:
AC^2 = AM^2 + MC^2
AC^2 = (AC/2)^2 + MC^2
MC^2 = 3/4 AC^2
Так как MC является радиусом вписанной окружности, то r = MC.
Рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC равен а, угол ABC равен (180-2а)/2 = 90-а. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.
По теореме Пифагора в треугольнике ABC:
AB^2 = AC^2 + BC^2
AB^2 = 2AC^2 — 2AC^2cos(a)
AB^2 = 2AC^2(1-cos(a))
AB = 2ACsin(a/2)
Так как AB является диаметром описанной окружности, то R = AB/2.
Таким образом, получаем:
R/r = (AB/2)/(3/4 AC) = 2sin(a/2)/(3/2) = 4sin(a/2)/3
Ответ: отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника с углом при вершине а равно 4sin(a/2)/3.
