Вопрос школьника
Дан шестиугольник ABCDEF, в котором AB || DE || CF, BC || EF || AD, CD || FA. Используя векторы, докажите, что BE || AF.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим векторы AB, DE и CF как a, b и c соответственно. Также обозначим векторы BC, EF и AD как d, e и f соответственно. И, наконец, обозначим векторы CD и FA как g и h соответственно.
Так как AB || DE, то векторы a и b коллинеарны. Аналогично, BC || EF, поэтому векторы d и e коллинеарны, и CD || FA, поэтому векторы g и h коллинеарны.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что векторы a и d лежат на одной прямой, поэтому мы можем записать:
a = kd
где k — некоторое число. Аналогично, для треугольника ADF мы можем записать:
b = le
где l — некоторое число.
Теперь рассмотрим треугольник ABE. Мы можем записать:
b — a = (l — k)e
Также мы знаем, что CF || DE, поэтому векторы c и b — e коллинеарны. Мы можем записать:
c = m(b — e)
где m — некоторое число.
Теперь мы можем выразить векторы a и c через векторы b и e:
a = b — (l — k)e
c = m(b — e)
Теперь рассмотрим треугольник ACF. Мы можем записать:
c — a = (m — 1)b — me + ke
Также мы знаем, что CD || AF, поэтому векторы g и h — a коллинеарны. Мы можем записать:
g = n(h — a)
где n — некоторое число.
Теперь мы можем выразить векторы c и g через векторы a и h:
c = h — ng
g = n(a — h)
Теперь мы можем выразить векторы b и e через векторы a и h:
b = c + a — h = (1 — n)h + (m — 1)b — me + ke — (l — k)e
e = a — g = (1 — n)h + (k — 1)d — ke + me — (m — 1)b
Теперь мы можем выразить вектор BE через вектор AF:
BE = e — b = (1 — n)h + (k — 1)d — ke + me — (m — 1)b — (1 — n)h — (m — 1)b + me — ke + (l — k)e
BE = (k — l + m — n)e
Аналогично, мы можем выразить вектор AF через вектор BE:
AF = h — c = h — m(b — e) = h — mb + me
AF = (1 — m)h + mb — me
Таким образом, мы видим, что векторы BE и AF коллинеарны, так как они пропорциональны с коэффициентом (k — l + m — n) и (1 — m) соответственно. Следовательно, BE || AF.
