Вопрос школьника
Дан треугольник ABC. На стороне АС взята точка В , а на стороне ВС — точка А,. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ, пересекаются.
Ответ от учителя
Для доказательства пересечения отрезков АА1 и ВВ2 необходимо воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах.
Пусть О — точка пересечения отрезков АС и ВВ2. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, отрезки АО и ВО2 перпендикулярны сторонам треугольника ABC.
Также заметим, что треугольники АО1С и ВО2С подобны, так как угол АО1С равен углу ВО2С (они оба равны углу ВАС, так как АВС — прямоугольный треугольник), а угол О1АС равен углу О2ВС (они оба равны углу АВС, так как АВС — прямоугольный треугольник).
Отсюда следует, что отрезки АО1 и ВО2 имеют одинаковое отношение к стороне САС1, то есть они делят её в одном и том же отношении.
Но так как точки А и В лежат на сторонах АС и ВС соответственно, то отрезки АО и ВО2 также делят сторону САС1 в одном и том же отношении.
Значит, точки О, А1 и В2 лежат на одной прямой, то есть отрезки АА1 и ВВ2 пересекаются в точке О.
Таким образом, мы доказали, что отрезки АА1 и ВВ2 пересекаются.
