Вопрос школьника
Дан треугольник, у которого из одного угла выпущены медиана, биссектриса и высота. Они разбивают угол на 4 равных. Доказать, что этот угол прямой.
Ответ от учителя
Пусть дан треугольник ABC, у которого из угла A выпущены медиана AM, биссектриса AN и высота AH. Пусть угол MAN разбит на 4 равных угла.
Так как угол MAN разбит на 4 равных угла, то угол MAN = 90°/4 = 22.5°.
Также известно, что угол MAN = угол BAC/2 (так как AN — биссектриса угла BAC).
Поэтому угол BAC = 2*угол MAN = 2*22.5° = 45°.
Теперь рассмотрим треугольник AHB. Так как AH — высота, то угол BAH = 90°. Также угол BHA = угол BAC/2 = 45°/2 = 22.5° (так как AN — биссектриса угла BAC).
Таким образом, угол ABH = 180° — угол BAH — угол BHA = 180° — 90° — 22.5° = 67.5°.
Теперь рассмотрим треугольник AMB. Так как AM — медиана, то угол AMB = 90° (так как медиана делит сторону пополам и образует прямой угол с серединой этой стороны).
Также угол BAM = угол BAC/2 = 45°/2 = 22.5° (так как AN — биссектриса угла BAC).
Таким образом, угол ABM = 180° — угол AMB — угол BAM = 180° — 90° — 22.5° = 67.5°.
Так как угол ABH = угол ABM, то треугольник ABH подобен треугольнику ABM (по двум углам).
Таким образом, соотношение сторон треугольников ABH и ABM равно соотношению соответствующих высот:
AH/AM = BH/BM
Так как AH = BH (так как они являются высотами, опущенными на одну и ту же сторону), то AM = BM.
Таким образом, треугольник ABM является равнобедренным, и угол ABM = угол BAM = 22.5°.
Также из треугольника ABM следует, что угол ABN = 180° — угол BAM — угол BAN = 180° — 22.5° — 45° = 112.5°.
Так как угол ABN = угол ABH, то треугольник ABN подобен треугольнику ABH (по двум углам).
Таким образом, соотношение сторон треугольников ABN и ABH равно соотношению соответствующих высот:
AH/AN = BH/BN
Так как AH = BH (так как они являются высотами, опущенными на одну и ту же сторону), то AN = BN.
Таким образом, треугольник ABN является равнобедренным, и угол ABN = угол BAN = 45°.
Так как угол BAC = угол BAN + угол NAC, то угол NAC = угол BAC — угол BAN = 45° — 45° = 0°.
Таким образом, угол NAC = 0°, то есть точка N лежит на прямой AC.
Также из треугольника ABN следует, что угол ANB = 180° — угол ABN — угол BAN = 180° — 45° — 45° = 90°.
Таким образом, угол ANB = 90°, то есть точка N является серединой гипотенузы треугольника ABC.
Так как точка N является серединой гипотенузы, то AM = BM = MC (так как медиана делит сторону пополам).
Также из треугольника ABC следует, что угол BAC = 90° + угол ABC + угол ACB.
Так как угол BAC = 45°, то угол ABC + угол ACB = 45° — 90° = -45°.
Таким образом, угол ABC и угол ACB являются отрицательными углами.
Так как угол ABC и угол ACB являются отрицательными углами, то треугольник ABC является остроугольным.
Таким образом, угол BAC является прямым углом.
