Вопрос школьника
Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором ∠В = 110º, ∠CAB = 30º, ∠CAD = 40º и AB = CD. Докажите, что BC || AD.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что BC || AD, нужно показать, что углы между этими сторонами равны.
Рассмотрим треугольник ABC. Из условия задачи известно, что ∠В = 110º и ∠CAB = 30º. Тогда ∠ABC = 180º — ∠В — ∠CAB = 40º.
Рассмотрим треугольник ACD. Из условия задачи известно, что ∠CAD = 40º и AB = CD. Тогда ∠ACD = ∠CAD = 40º.
Таким образом, мы получили, что ∠ABC = ∠ACD = 40º.
Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD. Из теоремы о сумме углов в выпуклом четырехугольнике, мы знаем, что сумма углов в нем равна 360º.
Так как ∠ABC = ∠ACD = 40º, то ∠BAD = 360º — ∠ABC — ∠ACD — ∠CAB — ∠CAD = 150º.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Из теоремы о сумме углов в треугольнике, мы знаем, что сумма углов в нем равна 180º. Тогда ∠ADB = 180º — ∠BAD — ∠ABD = 30º.
Таким образом, мы получили, что ∠ADB = ∠CAB = 30º.
Из двух последних равенств следует, что углы между сторонами BC и AD равны, то есть BC || AD.
Таким образом, мы доказали, что в данном четырехугольнике BC || AD.
