Вопрос школьника
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Найдите геометрическое место точек М этого четырёхугольника, для которых площади фигур АВСМ и ADCM равны.
Ответ от учителя
Пусть точка $M$ лежит на отрезке $AB$. Тогда площади треугольников $ABM$ и $CDM$ равны тогда и только тогда, когда точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$, проходящем через точку $P$, являющуюся серединой отрезка $AB$. Действительно, пусть $h_1$ и $h_2$ — высоты треугольников $ABM$ и $CDM$ соответственно. Тогда площади этих треугольников равны тогда и только тогда, когда $h_1 cdot AB = h_2 cdot CD$. Но $h_1 = MP cdot sin angle AMB$ и $h_2 = MP cdot sin angle CMD$, поэтому $h_1 = h_2$ тогда и только тогда, когда $sin angle AMB = sin angle CMD$. Но это возможно только если точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$, проходящем через точку $P$.
Аналогично рассматриваются случаи, когда точка $M$ лежит на отрезках $BC$, $CD$ и $DA$. Итак, геометрическое место точек $M$ таких, что площади фигур $ABCM$ и $ADCM$ равны, является пересечением серединных перпендикуляров к сторонам $CD$ и $AB$, $AB$ и $BC$, $BC$ и $CD$, $CD$ и $DA$. Это пересечение является точкой пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD$.
